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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 8: Teorema de Taylor

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7. Si el polinomio de Taylor de ff de orden 5 en x=2x=2 es p(x)=(x−2)5+3(x−2)4+3(x−2)2−8p(x)=(x-2)^{5}+3(x-2)^{4}+3(x-2)^{2}-8, calcule f(4)(2)f^{(4)}(2) y f(′′′)(2)f^{(\prime \prime \prime)}(2). ¿Se puede conocer el valor de f(6)(2)f^{(6)}(2)? ¿Cuánto vale f(6)(2)f^{(6)}(2) si el polinomio pp es de orden 7?

Respuesta

En este ejercicio nos dan como dato el polinomio de Taylor de ff de orden 5 en x=2x=2

p(x)=(x−2)5+3(x−2)4+3(x−2)2−8p(x)=(x-2)^{5}+3(x-2)^{4}+3(x-2)^{2}-8

Sabiendo esto, tenemos que averiguar:

✅ f(4)(2)⇒f^{(4)}(2) \Rightarrow Por definición sabemos que va a ser igual a p(4)(2)p^{(4)}(2). Acá tenés dos opciones:

*Derivás el polinomio de Taylor hasta la derivada cuarta y la evaluas en x=2x=2 (muchas veces el camino más seguro). Vos sabés que p(4)(2)= f(4)(2)p^{(4)}(2) = f^{(4)}(2), entonces ahí ya sale

*Como en este caso nos dan el polinomio de Taylor en potencias de (x−2)(x-2), mirando el término con (x−4)4(x-4)^4 podríamos deducir cuánto vale f(4)(2)f^{(4)}(2). Es decir, nosotrxs sabemos (a partir de la estructura de cualquier polinomio de Taylor centrado en x=2x=2) que lo que acompaña a (x−2)4(x-2)^4 es f(4)(2)4!\frac{f^{(4)}(2)}{4!}. Y ahí en el polinomio tenemos un 33 acompañando, entonces planteamos:

f(4)(2)4!=3\frac{f^{(4)}(2)}{4!} = 3

f(4)(2)=72f^{(4)}(2) = 72

(Si derivabas el polinomio hasta la derivada cuarta y evaluabas en x=2x=2 llegabas al mismo resultado)

✅f′′′(2)f'''(2)

De nuevo, dos opciones. Derivas el polinomio hasta la derivada tercera y evaluas en x=2x=2, ya que sabemos que p′′′(2)=f′′′(2)p'''(2) = f'''(2). O la otra opción es pensarlo mirando la estructura del polinomio de Taylor. Fijate que no tenemos término cúbico, no hay ningún termino con (x−2)3(x-2)^3, por lo tanto, podemos deducir que f′′′(2)=0f'''(2) = 0

✅ f(6)(2)f^{(6)}(2)

Como el polinomio de Taylor que nos dan es de orden 55, entonces, más allá de la derivada quinta no tenemos ninguna información. Así que no podemos saber cuánto vale. En cambio, si nos aseguran que el polinomio de Taylor que estamos viendo es de orden 77, ahí si podemos asegurar que f(6)(2)=0f^{(6)}(2) = 0
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